Τι (ποιος) είναι Фурье преобразование - ορισμός
ШИРОКО ИСПОЛЬЗУЕМОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Фурье преобразование; Интеграл Фурье; Непрерывное преобразование Фурье; Фурье-преобразование; Фурье-образ; Теорема Фурье о свёртке; Теорема Фурье о свертке; ℱ; Фурье-интеграл
Фурье преобразование
(данной функции)
, (1)
(2)
(3)
, (4)
. (5)
. (6)
, (7)
(8)
. (9)
,
.
(10)
функция, выражающаяся через данную функцию f (x) формулой:
Если функция f (x) чётная, то её ф. п. равно
(косинус-преобразование), а если f (x) - нечётная функция, то
(синус-преобразование). Формулы (1), (2) и (3) обратимы, т. е. для чётных функций
а для нечётных функций
В общем случае имеет место формула
Каждой операции над функциями соответствует операция над их Ф. п., которая во многих случаях проще соответствующей операции над f (x). Например, Ф. п. f'(x) является iug (u). Если
то g (u) = g1(u) g2(u). Для f (x + а) Ф. п. является eiuag (u), а для c1f1(x) + c2f2 (x) - функция c1g1(u) + c2g2(u).
Если существует 
, то интегралы в формулах (1) и (6) сходятся в среднем (см. Сходимость), причём
(теорема Планшереля). Формула (8) является обобщением на Ф. п. формулы Парсеваля (см. Парсеваля равенство) для рядов Фурье (см. Фурье ряд). Физический смысл формулы (8) заключается в равенстве энергии некоторого колебания сумме энергий его гармонических компонент. Отображение F: f (x) → g (u) является унитарным оператором (См. Унитарный оператор) в гильбертовом пространстве функций f (x), - ∞ < x < ∞, с интегрируемым квадратом. Этот оператор может быть представлен также в виде
При некоторых условиях на f (x) справедлива формула Пуассона
находящая применение в теории тэта-функций (См. Тэта-функции).
Если функция f (x) достаточно быстро убывает, то её Ф. п. можно определить и при некоторых комплексных значениях u = v + iw. Например, если существует 
, а > 0, то Ф. п. определено при |w| < а. Ф. п. при комплексных значениях тесно связано с двусторонним преобразованием Лапласа (см. Лапласа преобразование)
Оператор Ф. п. может быть расширен на более обширные классы функций, нежели совокупность суммируемых функций [например, для функций f (x) таких, что (1 + |x|)-1f (x) суммируема, Ф. п. определяется формулой (9)], и даже на некоторые классы обобщённых функций (См. Обобщённые функции) (т. н. медленного роста).
Имеются обобщения Ф. п. Одно из них использует различного рода специальные функции, например Бесселя функции, это направление получает завершение в теории представлений непрерывных групп (См. Непрерывная группа). Другим является т. н. преобразование Фурье - Стилтьеса, широко применяемое, например, в теории вероятностей; оно определяется для произвольной ограниченной неубывающей функции φ(x) Стилтьеса интегралом
и называется характеристической функцией распределения φ. Для представимости функции g (u) в виде (10) необходимо и достаточно, чтобы при любых u1,..., un, ξ1,...,ξn было
(теорема Бохнера - Хинчина).
Ф. п., первоначально возникшее в теории теплопроводности, имеет многочисленные применения как в самой математике (например, при решении дифференциальных, разностных и интегральных уравнений, в теории специальных функций и т.д.), так и в различных разделах теоретической физики. Например, Ф. п. стало стандартным аппаратом квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля), широко используется в методе функций Грина для неравновесных задач квантовой механики и термодинамики, в теории рассеяния и т.д.
Лит.: Снеддон И., Преобразование Фурье, пер. с англ., М., 1955; Владимиров В. С., Обобщенные функции в математической физике, М., 1976.
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами
Дискретное преобразование Фурье
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РЯДА ЧИСЕЛ
Дискретное во времени преобразование Фурье; ДФП
Дискретное преобразование Фурье (в англоязычной литературе DFT, Discrete Fourier Transform) — это одно из преобразований Фурье, широко применяемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов (его модификации применяются в сжатии звука в MP3, сжатии изображений в JPEG и др.), а также в других областях, связанных с анализом частот в дискретном (к примеру, оцифрованном аналоговом) сигнале.
Βικιπαίδεια
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье (символ ℱ) — операция, сопоставляющая одной функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.
